Tangentiaalinen nelikulmio


Tangentiaalinen nelikulmio eli ympyrän ympäri piirretty nelikulmio on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.[1][2]

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista engl. tangential quadrilateral.[1]

Sisällysluettelo

Ominaisuuksia


\({\displaystyle r={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}}\) [1]
\({\displaystyle ={\sqrt {\frac {bcd+acd+abd+abc}{a+b+c+d}}}}\) [2]

missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Erikoistapauksia


Neliö

Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde r on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös apoteemaksi kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde R on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on a, saadaan

\({\displaystyle r={\frac {1}{2}}a}\) [4] sekä \({\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.}\)

Neljäkäs

Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli \({\displaystyle \beta =90^{\circ }-\alpha }\). Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten \({\displaystyle \alpha =2\gamma }\) eli \({\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha }\).

Jos päätetään aluksi kulma \({\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha }\), voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = tA ja JB = tB, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun

\({\displaystyle a=t_{A}+t_{B}}\).[5]

Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista

\({\displaystyle t_{A}=r\cot \gamma }\) (kolmiosta \({\displaystyle \Delta AJO}\)) [6]

ja

\({\displaystyle t_{B}=r\tan \gamma }\) (kolmiosta \({\displaystyle \Delta OJB}\)).[6]

Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta

\({\displaystyle a=t_{A}+t_{B}=r\cot \gamma +r\tan \gamma =r(\cot \gamma +\tan \gamma )}\) eli
\({\displaystyle r={\frac {a}{\cot \gamma +\tan \gamma }}}\).

Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään sisäympyrän generoivan polynomin kertoimet ovat [7]

\({\displaystyle S_{1}^{4}=t_{A}+t_{B}+t_{C}+t_{D}=2t_{A}+2t_{B}=2(t_{A}+t_{B})}\),

koska tA = tC ja tB = tD, ja vielä

\({\displaystyle S_{3}^{4}=t_{A}t_{B}t_{C}+t_{B}t_{C}t_{D}+t_{C}t_{D}t_{A}+t_{D}t_{A}t_{B}=2(t_{A}^{2}t_{B}+t_{A}t_{B}^{2})=2t_{A}t_{B}(t_{A}+t_{B})}\).

Polynomi saa muodon

\({\displaystyle S_{1}^{4}r^{2}-S_{3}^{4}=0}\) [8] eli
\({\displaystyle 2(t_{A}+t_{B})r^{2}-2t_{A}t_{B}(t_{A}+t_{B})=0}\)

jonka positiivinen juuri on

\({\displaystyle r={\sqrt {\frac {2t_{A}t_{B}{\cancel {(t_{A}+t_{B})}}}{2{\cancel {(t_{A}+t_{B})}}}}}={\sqrt {t_{A}t_{B}}}}\).

Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun \({\displaystyle t_{A}=t_{B}={\tfrac {1}{2}}a}\).

Katso myös


Lähteet


Viitteet

  1. a b c d e Weisstein, Eric W.: Tangential Quadrilateral  (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c d Hajja, Mowaffaq: A Condition for a Circumscriptible Quadrilateral to be Cyclic. Forum Geometricorum, 2008, nro 8, s. 103–106. ISSN 1534-1178 . Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 23.9.2013. (englanniksi)
  3. a b c Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan: Mathematical Olympiad Treasures, s. 64–68. kappale 2.7 Quadrilaterals with an inscribed circle. Springer, 2004. Teoksen verkkoversio (Google-book) (viitattu 23.9.2013).
  4. Seppänen, Raimo et al.: MAOL, s. 31. (lukion taulukkokirja, keltainen). Helsinki: Otava, 2005. ISBN 978-951-1-20607-1.
  5. Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 198, alku
  6. a b Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 198, kaava (3)
  7. Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 200
  8. Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 201, todistus









Luokat: Monikulmiot




Tiedot vuodesta: 30.11.2020 05:57:12 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-BY-SA-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.