Sarja (matematiikka) - fi.LinkFang.org

Sarja (matematiikka)


Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. [1] Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sisällysluettelo

Sarjan summa


Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki
Voidaan päätellä, että \({\displaystyle 0{,}3+0{,}03+0{,}003+...=0{,}333...={\frac {1}{3}}.}\)
Tämän sarjan osasummien jonolla
\({\displaystyle (0{,}3;0{,}3+0{,}03;0{,}3+0{,}03+0{,}003;...)=(0{,}3;0{,}33;0{,}333;...)\!}\)
on raja-arvo \({\displaystyle {\frac {1}{3}}.}\)
Esimerkki
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että
\({\displaystyle 1={1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+...}\)

Sarjan \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...}\) osasummia ovat
\({\displaystyle S_{1}=a_{1}}\)
\({\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}\)
\({\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}\)
\({\displaystyle ...}\)
\({\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}\)
\({\displaystyle ...}\)

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
\({\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}\)

Aritmeettinen ja geometrinen sarja


Sarja \({\displaystyle \sum _{}^{}x_{n}}\) on aritmeettinen, jos lukujono \({\displaystyle x_{n}}\) on muotoa \({\displaystyle (x_{1}+(n-1)d)}\) eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio \({\displaystyle d}\).

Sarja \({\displaystyle \sum _{}^{}x_{n}}\) on geometrinen, jos lukujono \({\displaystyle x_{n}}\) on muotoa \({\displaystyle (x_{1}q^{n-1})}\) eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio \({\displaystyle q}\).

Kaavoja ja sääntöjä


  1. Sarja \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}\) hajaantuu, jos
    • \({\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0}\) tai
    • \({\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}}\) ei ole olemassa.
  2. Vuorotteleva sarja \({\displaystyle (-1)^{n}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}\) eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
    • \({\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}=0}\)
  3. Aliharmoninen sarja \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},0<p<1}\) hajaantuu.
  4. Harmoninen sarja \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}\) hajaantuu.
  5. Yliharmoninen sarja \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},p>1}\) suppenee.
  6. Geometrinen sarja \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{1}q^{k-1}}\) suppenee, kun \({\displaystyle |q|<1}\) tai \({\displaystyle a_{1}=0}\).
    • Tällöin \({\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{1}q^{k-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}\)

Esimerkkejä


Määritetään sarjan \({\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {9}{2^{k}}}}\) summa.

Osasumma \({\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {9}{2^{k}}}=9\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}}\)
Summa on geometrinen summa; \({\displaystyle a_{1}=1,q={\frac {1}{2}}}\), termejä \({\displaystyle n+1}\).
\({\displaystyle S_{n}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}}\).

\({\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{\infty }}{\frac {1}{2}}}=9\cdot {\frac {1}{\frac {1}{2}}}=18}\)

Sarjakehitelmä


Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

Lähteet


  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 346–347. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta










Luokat: Matemaattiset sarjat








Tiedot vuodesta: 30.11.2020 12:03:37 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-by-sa-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.