Potenssisarja


Potenssisarja on sellainen sarjakehitelmä, joka (yhden muuttujan tapauksessa) on muotoa

\({\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(x-c)^{i}}\). [1]

Tyypillinen potenssisarja on jotakin funktiota kuvaava Taylorin sarja. Usein funktion kehittäminen potenssisarjaksi tapahtuu origon ympäristössä, jolloin \({\displaystyle c=0}\) ja kehitelmä saa yksinkertaisemman muodon

\({\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}\)

Polynomit ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. Analyysissä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös muun muassa todennäköisyyslaskennassa (generoivat funktiot), elektroniikassa (Z-muunnos) tai lukuteoriassa (p-adiset luvut ja desimaaliesitykset).

Sarjakehitelmän neliö


Sarjakehitelmän neliön tarkastelemiseksi olkoon funktion f(x) sarjakehitelmä

\({\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...=}\) \({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}\)

Tämän neliö on

\({\displaystyle f^{2}(x)=}\) \({\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }a_{m}x^{m}}\) \({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=}\) \({\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m}a_{n}x^{m+n}=}\) \({\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{p=m}^{\infty }a_{m}a_{p-m}x^{p}}\)

jossa p = m + n ja on käytetty hyväksi ehtoa, että kertoimen a alaindeksi ei saa olla negatiivinen:

\({\displaystyle p-m\geq 0}\)

eli

\({\displaystyle p\geq m}\)

Oheiseen kuvaan viitaten on sama käydäänkö indeksialue läpi edestakaisin vasemmalta oikealle vai alhaalta ylös. Tämä vastaa summien järjestyksen vaihtamista, joten saadaan

\({\displaystyle f^{2}(x)=}\) \({\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{p}a_{m}a_{p-m}\ x^{p}}\)

Merkitään tässä vielä

\({\displaystyle b_{p}=}\) \({\displaystyle \sum _{m=0}^{p}a_{m}a_{p-m}\ }\)

jolloin voidaan kirjoittaa

\({\displaystyle f^{2}(x)=}\) \({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}\)

jossa siis kertoimet b saadaan alkuperäisen sarjakehitelmän kertoimista

\({\displaystyle b_{n}=}\) \({\displaystyle \sum _{m=0}^{n}a_{m}a_{n-m}\ }\)

Lähteet


  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 118 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.









Luokat: Matemaattiset sarjat




Tiedot vuodesta: 30.11.2020 12:48:05 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-BY-SA-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.