Ortogonaaliset polynomit - fi.LinkFang.org

Ortogonaaliset polynomit


Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja \({\displaystyle P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x)\ldots ,P_{n}(x),\ldots \,}\), joista \({\displaystyle n}\):s polynomi on aina \({\displaystyle n}\):ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

\({\displaystyle \langle P_{n},P_{m}\rangle =\int _{a}^{b}P_{n}(x)P_{m}(x)W(x)dx}\)

on nolla, aina kun \({\displaystyle n\neq m}\). Tässä esiintyvä funktio \({\displaystyle W(x)}\) on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen \({\displaystyle a}\) ja \({\displaystyle b}\) väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

Sisällysluettelo

Ominaisuuksia


Generoiva funktio

Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa

\({\displaystyle Q(x)y''+L(x)y'+\lambda y=0\,}\),

kunhan polynomi \({\displaystyle Q(x)}\) on korkeintaan toista astetta ja polynomi \({\displaystyle L(x)}\) lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan Rodriguesin kaavana. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

\({\displaystyle P_{n}={\frac {1}{W(x)e_{n}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(W(x)[Q(x)]^{n})}\),

missä painofunktio

\({\displaystyle W(x)={\frac {e^{\int (L(x)/Q(x))dx}}{Q(x)}}}\)

ja \({\displaystyle e_{n}}\) polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista generoivaa funktiota. Funktio \({\displaystyle G(x,t)}\) on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

\({\displaystyle G(x,t)=\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}\,}\)

Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

Rekursiokaava

Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

\({\displaystyle P_{n+1}=(a_{n}x+b_{n})P_{n}-c_{n}P_{n-1}\,}\)

Juurten reaalisuus ja erisuuruus

Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaitsevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon \({\displaystyle n}\):nnen polynomin kaikki nollakohdat sijaitsevat \({\displaystyle (n+1)}\):nnen polynomin nollakohtien välissä.

Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja


Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.








Luokat: Algebra








Tiedot vuodesta: 30.11.2020 11:14:31 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-by-sa-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.