Laplacen yhtälö


Laplacen yhtälö on matemaatikko Pierre-Simon Laplacen mukaan nimetty osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voidaan mm. mallintaa tasapainotilan potentiaaleja. Laplacen yhtälöllä on sovelluksia mm. sähkömagnetismissa, tähtitieteessä ja virtausmekaniikassa. [1]

Laplacen yhtälö kirjoitetaan nabla-operaattorin avulla muodossa

\({\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}\)

Yleisessä käytössä, etenkin matematiikassa, on myös rinnakkainen merkintätapa

\({\displaystyle \Delta \varphi =0}\)

missä Δ on niin kutsuttu Laplacen operaattori.

Karteesisessa koordinaatistossa yhtälö voidaan kirjoittaa auki muotoon

\({\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0.}\)

Pallokoordinaatistossa yhtälö saa aukikirjoitettuna muodon

\({\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}\)

Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos yhtälössä on myös vakiotermi tai koordinaateista riippuva funktio muotoa g(x,y,z), niin kyseessä on Poissonin yhtälö.

Katso myös


Lähteet


  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 785–787 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.









Luokat: Osittaisdifferentiaaliyhtälöt




Tiedot vuodesta: 30.11.2020 11:37:43 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-BY-SA-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.