Koordinaatisto - fi.LinkFang.org

Koordinaatisto




Tämä artikkeli käsittelee koordinaatistoa matematiikan käsitteenä. Maantieteen koordinaattijärjestelmästä on oma artikkelinsa.

Koordinaatisto on geometrinen järjestelmä alueen kuvaamiseen ja sen mittasuhteiden, sijaintien tai muiden sellaisten ilmoittamiseen.[1]

Koordinaatistossa yksikäsitteistä paikkaa eli pistettä kuvataan koordinaateilla. Koordinaatit voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Pisteillä on yhtä monta koordinaattia kuin koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Ulottuvuuksien ja niitä vastaavien koordinaattien niminä on useimmiten x, y ja z. X- ja y-akseleita kutsutaan myös joskus abskissaksi ja ordinaataksi.[1]

Origo on suorakulmaisen koordinaatiston nollapiste, jossa kaikkien koordinaattien arvo on nolla ja koordinaatistoakselit leikkaavat toisensa.[1]

Sisällysluettelo

Suorakulmainen koordinaatisto


Yleisimmin koordinaatistolla tarkoitetaan etenkin matematiikassa suorakulmaista eli karteesista koordinaatistoa. Suorakulmaisessa koordinaatistossa on ulottuvuuksien mukainen määrä akseleita, jotka on nimetty kuvaamansa ulottuvuuden mukaan. Akselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa yleensä oikeakätisesti, ja ne kulkevat koordinaatiston nollapisteen eli origon kautta sekä leikkaavat toisensa siinä.

Koordinaatistolle on annettu myös mittayksikkö, ja niinpä kunkin pisteen koordinaatit ilmoittavat matkan, joka kutakin akselia tulee kulkea, jotta päästäisiin merkittyyn pisteeseen. Kun koordinaatistolla kuvataan tasoa, käytetään kahta akselia: vaakasuunnan kuvaamiseen x-akselia ja pystysuunnalle y-akselia. Kolmiulotteisessa avaruudessa tarvitaan puolestaan kolme akselia: x-, y- ja z-akselit.

Koordinaatit ilmoitetaan merkitsemällä ne sulkeisiin järjestyksessä (x, y, z) ja erottamalla kunkin ulottuvuuden koordinaattiluku pilkulla. Esimerkiksi (2, −3) tarkoittaa, että piste sijaitsee kaksiulotteisen koordinaatiston pisteessä x = 2 ja y = −3 (tässä 2 on ns. abskissa ja −3 ns. ordinaatta). Jos koordinaatit sisältävät desimaalipilkkuja, ne erotetaan toisistaan puolipisteellä, esimerkiksi (4,5; 2,25; −6,8).

Napakoordinaatisto


Pääartikkeli: Napakoordinaatisto

Napakoordinaatistossa koordinaatit esitetään kiertokulman \({\displaystyle \theta }\) ja säteen \({\displaystyle r}\) funktiona. Muunnoskaavat karteesisen ja napakoordinaatiston välillä ovat:

\({\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}\)


Käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista napakoordinaatteihin voidaan johtaa Pythagoraan lauseen ja trigonometrian avulla:

\({\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}\)

Sylinterikoordinaatisto


Sylinterikoordinaatisto on kolmiulotteinen koordinaatisto, jossa x- ja y-tasossa käytetään napakoordinaatistoa ja sen lisäksi z-suunnassa karteesista z-koordinaattia. Koordinaatin muodostaa kolmikko (φ,ρ,z). Käänteismuunnos karteesisesta koordinaatistosta sylinterikoordinaatteihin tapahtuu vastaavalla tavalla kuin napakoordinaatistossa.

Sylinterikoordinaatiston koordinaattikonventiot vaihtelevat. ISO-standardi ISO 80000-2 suosittelee merkintää (φ,ρ,z). Sädettä kuitenkin merkitään usein symbolilla r, atsimuuttikulmaa θ ja korkeutta h.

Muunnos sylinterikoordinaatistosta suorakulmaiseen voidaan tehdä kaavoilla

\({\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi ,\\y&=\rho \sin \varphi ,\\z&=z.\end{aligned}}}\)

Muunnos suorakulmaisesta sylinterikoordinaatistoon voidaan tehdä kaavoilla

\({\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}\)
\({\displaystyle z=z,}\)
\({\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x),}\)

missä

\({\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{jos }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y<0\\{\text{määrittelemätön}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y=0,\end{cases}}}\)

jolloin φ saadaan radiaaneina. Funktio atan2(y,x) on toteutettu esimerkiksi C-kielessä.

Pallokoordinaatisto


Pallokoordinaatisto on sylinterikoordinaatiston tapaan kolmiulotteisen avaruuden koordinaatisto. Siinä pisteiden ajatellaan sijaitsevan pallopinnalla. Koordinaatit määrittävät säde r, atsimuuttikulma φ sekä korotus- eli elevaatiokulma θ. Kulmat voidaan ilmoittaa radiaaneina tai asteina. Esimerkiksi tulenohjauksessa käytetään yleisesti korotuskulmaa, joka on rajattu välille \({\displaystyle \scriptstyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}\) (tai \({\displaystyle \scriptstyle -90^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }}\)) yksikäsitteisyyden saavuttamiseksi. Matemaattisemmissa asiayhteyksissä käytetään yleisemmin korotuskulman komplementtia \({\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta \in [0,\pi ]}\), eli z-akselin ja valitun pisteen välistä kulmaa origosta katsoen. Muunnoskaavat karteesiseen koordinaatistoon merkiten tätä kulmaa \({\displaystyle \theta }\):lla ovat:

\({\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}\)


Vastaavasti käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista pallokoordinaatistoon ovat:

\({\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}\)


Maantieteelliset leveys- ja pituusasteet muodostavat pallokoordinaatiston, jossa korotuskulma \({\displaystyle \scriptstyle \theta }\) vastaa leveys- ja atsimuuttikulma \({\displaystyle \scriptstyle \phi }\) pituusastetta, jos käytössä on vertausellipsoidin sijaan pallo.

Katso myös


Lähteet


  1. a b c Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 212. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta










Luokat: Analyyttinen geometria | Systeemit








Tiedot vuodesta: 21.05.2020 05:43:17 CEST

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-by-sa-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.