Keskijana eli mediaani on geometriassa jana, jonka toinen päätepiste on kohdejanan keskipisteessä. Esimerkiksi kolmiossa keskijana kulkee kolmion kärjestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen eli kantapisteeseen. (Mediaani tarkoittaa myös erästä keskilukua: lukusarjan keskimmäistä lukuarvoa.)
Keskijanan kantapiste merkitään usein alaviitteellä, mutta merkinnässä on lähteistä riippuen eroja. Jos jana alkaa pisteestä A, saatetaan kantapistettä merkitä \({\displaystyle \scriptstyle M_{A}}\) tai \({\displaystyle \scriptstyle m_{A}}\). Joskus se merkitään \({\displaystyle \scriptstyle M_{a}}\) tai \({\displaystyle \scriptstyle m_{a}}\), jos se sijaitsee janalla \({\displaystyle \scriptstyle a.}\)[1]
Tässä merkitään kolmion sivujen pituuksia kirjaimilla a, b ja c sekä kolmion kärkiä kirjaimilla A, B ja C. Kantapisteet ovat silloin Ma, Mb ja Mc sekä keskijanojen pituudet ma, mb ja mc.
Yleisen kolmion keskijanan pituus on \({\displaystyle \scriptstyle m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}},}\) missä keskijana toinen pää on janan \({\displaystyle \scriptstyle a}\) keskipisteessä. Tämä on seuraus Apolloniuksen lauseesta.[2][3]
Kun keskijanojen yhteispituuden puolikasta merkitään \({\displaystyle \scriptstyle s_{m}={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}\) pätee kolme asiaa:
Jos kolmiossa on keskijanat yhtä pitkät kuin vastinjanat toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.[5]
Jokainen keskijana leikkaa toisensa suhteessa 1 : 2. Keskijanat jakavat kukin yksin kolmion kahteen pinta-alaltaan tai, tasapaksulla levyllä vastaavasti, painoltaan yhtä painavaan, osaan.[4]
Kolmion keskijanat jakavat kolmion kuuteen pienempään kolmioon, joilla kaikilla on sama pinta-ala.[6]
Kolmion keskijanojen kantapisteiden kautta voidaan piirtää ympyrä. Tämä ympyrä kulkee myös kolmion korkeusjanojen kantapisteiden kautta.[7]
Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka painopiste sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla.[8]
Jos kolmion keskijana on samalla korkeusjana eli se kohtaa janan kohtisuorasti, on kolmio tasakylkinen- tai tasasivuinen kolmio.
Kolmion keskijanat leikkaavat aina samassa pisteessä, jota kutsutaan painopisteeksi ja merkitään usein kirjaimella G. Painopiste jakaa jokaisen keskijanan osiin suhteessa 2 : 1 siten, että janan lyhyempi osa jää kantapisteen puolelle. [9][6][10][11]
(pdf). (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012. (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
(Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
Luokat: Geometria
