Käänteisen etäisyyden menetelmä - fi.LinkFang.org

Käänteisen etäisyyden menetelmä


Käänteisen etäisyyden menetelmät (engl. inverse distance interpolation) ovat yksinkertaisia monimuuttujaisia interpolaatiomenetelmiä, joilla lasketaan näytteiden arvojen avulla annetussa pisteessä \({\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}\) sijaitsevan suureen \({\displaystyle f(x)}\) arvo. Näytteet sijaitsevat yksi- tai monidimensioisissa pisteissä \({\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{n},n\geq 1}\), joiden etäisyydet \({\displaystyle d_{i}=||x_{i}-x||}\) kohdasta \({\displaystyle x}\) voidaan määrittää. Etäisyys voi olla joko euklidinen etäisyys tai jokin muu etäisyysfunktion arvo, joka noudattaa metriikan perusteita. Kunkin arvioitavan kohdan arvo saadaan laskemalla kullekin näytteelle painokertoimet \({\displaystyle p_{i}}\), joiden avulla muodostetaan näytteiden arvoista \({\displaystyle f_{i}}\) painotettu aritmeettinen keskiarvo

\({\displaystyle f(x)=p_{1}f_{1}+p_{2}f_{2}+\dots +p_{n}f_{n}.}\)[1]

Tätä muotoa kutsutaan englanninkielisessä kirjallisuudessa usein Shepardin menetelmäksi. Se on eräs vanhimmista spatiaalisista interpolointimenetelmistä.[2]

Sisällysluettelo

Painokertoiminen määritys


Etäisyyden laskeminen

Näytteen \({\displaystyle x_{i}}\) ja arvioitavan kohteen \({\displaystyle x}\) välinen etäisyys

\({\displaystyle d_{i}=||x_{i}-x||}\)

lasketaan normaalisti niin, että metriikkana on euklidinen etäisyys. Kun interpolointi suoritetaan yksiulotteisena (x-akselia pitkin), saadaan etäisyydeksi x-koordinaattien erotuksen itseisarvo eli välimatka

\({\displaystyle d_{i}=|x_{i}-x|.}\)

Kun interpolointi suoritetaan tasolla eli kaksiulotteisena, käytetään pisteiden koordinaateille \({\displaystyle (x_{xi},x_{yi})}\) ja \({\displaystyle (x_{x},x_{y})}\) Pythagoraan lauseen tulosta

\({\displaystyle d_{i}={\sqrt {(x_{xi}-x_{x})^{2}+(x_{yi}-x_{y})^{2}}}.}\)

Kolmiulotteisessa tapauksessa voidaan pisteet merkitä \({\displaystyle (x_{xi},x_{yi},x_{zi})}\) ja \({\displaystyle (x_{x},x_{y},x_{x})}\) ja etäisyys laskea vastaavasti

\({\displaystyle d_{i}={\sqrt {(x_{xi}-x_{x})^{2}+(x_{yi}-x_{y})^{2}+(x_{zi}-x_{z})^{2}}}.}\)

Käänteisen etäisyyden potenssit

Koska käytännössä ei yleensä merkitä etäisyyden käänteislukuja suoraan painokertoimiksi \({\displaystyle p_{i}}\), merkitään niitä vielä \({\displaystyle q_{i}}\). Usein etäisyyden käänteisluvut korotetaan potenssiin \({\displaystyle r}\)

\({\displaystyle q_{i}={\frac {1}{{d_{i}}^{r}}},}\) [1]

mikä korostaa lähellä olevien näytteiden painoarvoa kaukana olevien kustannuksella. Mitä lyhyempi on näytteistä mitattujen arvojen riippuvuus toisistaan, sen korkeampi on valittu potenssi.

Painokertoimien normitus

Painokertoimille asetetaan yleensä ehto, että niiden summa tulee olla yksi

\({\displaystyle p_{1}+p_{2}+\dots +p_{n}=1.}\)

Näin halutaan varmistaa, että interpolointi tuottaa arvoja, joilla on sama odotusarvo \({\displaystyle \mu }\) kuin näytteiden keskiarvo on eli

\({\displaystyle E[f(x)]=E[p_{1}f_{1}+p_{2}f_{2}+\dots +p_{n}f_{n}]=p_{1}E[f_{1}]+p_{2}E[f_{2}]+\dots +p_{n}E[f_{n}]}\)
\({\displaystyle =p_{1}\mu +p_{2}\mu +\dots +p_{n}\mu =\mu (p_{1}+p_{2}+\dots +p_{n})=\mu .}\)

Kukin käänteisen etäisyyden potenssi tulee siksi jakaa näiden kaikkien summalla

\({\displaystyle {\frac {1}{{d_{1}}^{r}}}+{\frac {1}{{d_{2}}^{r}}}+\dots +{\frac {1}{{d_{n}}^{r}}}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{{d_{i}}^{r}}},}\)

jolloin painokertoimiksi saadaan lausekkeet

\({\displaystyle p_{i}={\frac {\frac {1}{{d_{i}}^{r}}}{\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{{d_{i}}^{r}}}}},}\) [1][2]

joiden summa on yksi.

Interpolointi näytteessä

Menetelmä ei toimi, jos yritetään laskea kohteen painokertoimia näytteen kanssa samassa pisteessä. Etäisyys näytteen \({\displaystyle f_{i}}\) ja kohteen \({\displaystyle f(x)}\) välillä on silloin nolla eikä nollalle ole määritelty käänteislukua. Algoritmiin lisätään siksi ehto, että kun kohteen etäisyys näytteestä \({\displaystyle f_{i}}\) on nolla (tai hyvin lähellä nollaa), kirjataan näytteen painoksi \({\displaystyle p_{i}=1}\) ja muille näytteille painoiksi \({\displaystyle p_{j}=0,j\neq i.}\) Näin menetelmä antaa näytteen \({\displaystyle i}\) kohdalla suoraan näytteen \({\displaystyle f_{i}}\) arvon ja menetelmästä tulee interpolointimenetelmä.[1]

Interpolaation ominaisuuksia


Koska menetelmässä huomioidaan vain näytteiden etäisyydet kohteestaan eikä näytteiden keskinäisiä etäisyyksiä, voi menetelmä painottaa suurestikin esimerkiksi kolmea läheistä näytettä. Näiden (todennäköisesti) lähes yhtäsuuret arvot saavat silloin kolminkertaisen painoarvon. Ongelma kierretään yleensä korvaamalla mainitut kolme näytettä yhdellä uudella näytteellä, jolle lasketaan arvoksi kolmen näytteen keskiarvo.

Kun käänteisen etäisyyden potenssin eksponentti kasvaa, kasvaa lähimmän näytteen painokerroin muiden näytteiden painokertoimien kustannuksella. Kunkin näytteen lähelle syntyy silloin leveä alue, jossa interpolaation antama tulos on lähes sama kuin näytteelläkin. Tämän ilmiön välttämiseksi eksponentin arvo tulee pitää matalana. Eksponentti \({\displaystyle r=2}\) tuottaa tyydyttävät interpoloinnit.[1][3][2]

Menetelmä on eksakti interpolointimenetelmä, sillä näytteen kohdalla se antaa aina arvoksi näytteen arvon. Näytteiden väleissä interpolaatiokäyrä taipuu kohti näytteiden keskiarvoa (viereinen kuva). Menetelmästä ei ole suurtakaan iloa, jos näytteiden välit ovat liian suuret, sillä samaan tulokseen pääsee keskiarvoa laskemalla.[2]

Lähteet


  1. a b c d e Shepard, Donald: A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data. ACM National Conference, 1968, s. 517–524. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/800186.810616 . Verkkoversio (pdf) Viitattu 3.11.2015. (englanniksi)
  2. a b c d Hengl, Tomislav: A Practical Guide to Geostatistical Mapping of Environmental Variables , s. 11–12, ISBN 978-92-79-06904-8, European Comission, 2007
  3. Pohjois-Karjalan Ammattikorkeakoulu: Deterministiset interpolointimenetelmät









Luokat: Interpolointi | Geostatistiikka




Tiedot vuodesta: 30.11.2020 02:01:54 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-by-sa-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.