Harmoninen voima


Harmoninen voima on fysiikassa voima, joka pyrkii palauttamaan kappaleen tasapainoasemaan ja joka on suoraan verrannollinen etäisyyteen tästä tasapainoasemasta.[1][2] Se voidaan siis esittää kaavalla

\({\displaystyle {\bar {F}}=-k{\bar {x}}}\),

missä \({\displaystyle {\bar {x}}}\) on kappaleen paikkavektori, kun tasapainopiste on origona, ja k systeemiin liittyvä vakio, jota sanotaan jousivakioksi.[1] Tällainen voima riippuu vain kappaleen tai massan sijainnista ja on aina suuntautunut kohti tasapainopistettä. Jos harmoninen voima on ainoa kappaleeseen vaikuttava voima, kappale joutuu harmoniseen värähdysliikkeeseen.[3][4]

Sisällysluettelo

Esimerkkejä


Jos kierrejousta venytetään tai puristetaan kokoon, se pyrkii palautumaan tasapainoasemaansa. Ellei tämä venymä tai puristuma ole kovin suuri, tämä palauttava voima on Hooken lain mukaan suoraan verrannollinen jousen pituuden muutokseen.[1] Tähän perustuu myös jousivaa'an käyttö punnistemiseen: venyttävänä voimana toimii punnittavan kappaleen paino, jonka aikaansaama venymä on suoraan verrannollinen kappaleen painoon.

Myös soittimien kielet pyrkivät palautumaan tasapainoasemaansa voimalla, joka on käytännöllisesti katsoen suoraan verrannollinen poikkeamaan.[3]

Kiinteillä aineilla on muotokimmoisuutta, toisin sanoen ne pyrkivät palautumaan entiseen muotoonsa, kun niiden muotoa muuttanut voima on lakannut vaikuttamasta. Tämä palauttava voima on useissa tapauksissa ainakin likimain harmoninen voima. Esimerkiksi venytetty tai puristettu sauva pyrkii palautumaan alkuperäiseen pituuteensa voimalla, joka on suoraan verrannollinen pituuden muutokseen ja myös sen poikkipinta-alaan, mutta kääntäen verrannollinen sen pituuteen.[5] Palauttava voima on tällöin

\({\displaystyle F=E{\frac {A}{l}}\Delta l}\)

missä A on sauvan poikkipinta-ala, l sen pituus tasapainotilanteessa ja \({\displaystyle \Delta l}\) sen pituuden muutos. Suure E on materiaalista riippuva vakio, jota sanotaan kimmomoduuliksi.[5] Kimmomoduulin ja sauvan jousivakion välillä vallitsee siis yhteys

\({\displaystyle k=E{\frac {A}{l}}}\)

Kiteissä atomit ovat jatkuvassa värähdysliikkeessä, mutta ne pyrkivät palaamaan tasapainokohtiinsa voimalla, joka on verrannollinen etäisyyteen tästä kohdasta.[3]

Harmoniselle voimalle analoginen on myös harmoninen momentti, jollainen vaikuttaa esimerkiksi heilurissa, edellyttäen ettei sen poikkeama pystysuorasta asennosta ei ole kovin suuri. Heiluri on tasapainossa, kun se osoittaa suoraan alaspäin. Jos sen suunta poikkeaa pystysuorasta kulman φ verran, painovoima pyrkii palauttamaan sen pystysuoraan asentoon saaden aikaan palauttavan momentin, joka on verrannollinen kulman φ siniin. Kun kulma on tarpeeksi pieni (alle 15 astetta), sen sini on likipitäen suoraan verrannollinen kulman suuruuteen. Momentin ja kiertokulman suhde on tällöin vakio, jota sanotaan direktiovakioksi.[6]

Harmonisen voiman tekemä työ ja potentiaalienergia


Oletetaan, että jousen venymä alkutilanteessa on x1. Kun venymä on pienentynyt arvoon x2, harmoninen jousivoima on tehnyt työn

\({\displaystyle W={\frac {1}{2}}kx_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}kx_{2}^{2}}\)[1]

Kun jousi on palautunut tasapainoasemaansa saakka ei x2 = 0, tehty työ on

\({\displaystyle W={\frac {1}{2}}kx_{1}^{2}}\).

Venyneen jousen potentiaalienergia, kimmoinen eli elastinen potentiaalienergia, on yhtä suuri kuin jousivoiman tekemä työ sen palautuessa tasapainoasemaansa, eli

\({\displaystyle E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}}\),

missä x on jousen venymä.[1]

Harmoninen voima ja harmoninen värähdysliike


Jos harmoninen voima on ainoa johonkin kappaleeseen kohdistuva voima, sen liikettä kuvaa liikeyhtälö

\({\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}\),

missä x on kappaleen paikkavektori, m sen massa ja k jousivakio.[3] Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut ovat muotoa

\({\displaystyle x=Asin{{\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\theta _{0}}=Asin{\omega t+\theta _{0}}}\),

missä vakiot A ja \({\displaystyle \theta _{0}}\) voivat k:n ja m:n arvoista riippumatta olla minkä suuruisia tahansa.

Liike, jossa kappaleen sijainti x muuttuu ajan funktiona tämän lausekkeen osoittamalla tavalla, on vaimenematonta harmonista värähdysliikettä. Vakio A on värähdysliikkeen amplitudi, \({\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}\) on liikkeen kulmataajuus, \({\displaystyle \omega t}\) sen vaihekulma ajanhetkellä t ja \({\displaystyle \theta _{0}}\) sen vaihekulma hetkellä t = 0 eli alkuvaihekulma.[3]

Koska sinifunktio on jaksollinen, vaimenemattomassa harmonisessa värähdysliikkeessä oleva kappale päätyy tasaisin väliajoin samaan paikkaan. Kahden tällaisen hetken välinen aikaero eli liikkeen jaksonaika on

\({\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}\)

Värähdysliikkeen taajuus on tämän käänteisarvo eli

\({\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\)[3]

Käytännössä vaimenematon harmoninen värähdysliike on kuitenkin mahdollinen vain, jos kappale saa jatkuvasti ulkoapäin lisää energiaa. Värähdysliikkeeseen nimittäin kohdistuu aina myös kitkaa ja muita vastustavia voimia, joiden vaikutuksesta mekaanistaa energiaa muuttuu koko ajan lämmöksi. Ellei ulkoista energianlähdettä ole, harmonisen voiman ja tämän vastusvoiman yhteisvaikutuksesta kappale joutuu vaimenevaan värähdysliikkeeseen.

Lähteet


  1. a b c d e Leena Lahti: ”Harmonisen voiman tekemä työ”, Mekaniikka, s. 73. Gaudeamus, 1975. ISBN 951-662-043-4.
  2. K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkko Rosenberg, Matti Tiilikainen: ”Harmoninen voima”, Lukion fysiikka 1, s. 41. WSOY, 1972. ISBN 951-0-00557-6.
  3. a b c d e f Leena Lahti: ”Harmonisen voiman tekemä työ”, Mekaniikka, s. 112–116. Gaudeamus, 1975. ISBN 951-662-043-4.
  4. Harmoninen voima opetus.tv. Viitattu 30.1.2020.
  5. a b K. V. Laurikainen, Uuno Nurmi, Rolf Qvickström, Erkko Rosenberg, Matti Tiilikainen: ”Kimmoisuus”, Lukion fysiikka 1, s. 61–62. WSOY, 1972. ISBN 951-0-00557-6.
  6. Leena Lahti: ”Harmoninen pyörimisliike”, Mekaniikka, s. 157-158. Gaudeamus, 1975. ISBN 951-662-043-4.

Aiheesta muualla











Luokat: Klassinen mekaniikka




Tiedot vuodesta: 01.10.2021 12:06:34 CEST

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-BY-SA-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.