Alueellistettujen muuttujien teoria - fi.LinkFang.org

Alueellistettujen muuttujien teoria


Alueellistettujen muuttujien teoria (engl. Regionalized variable theory) esittää erään lähestymistavan käsitellä avaruudellisesti levittäytyvää tietoa ja suorittaa kerättyjen näytteiden perusteella estimointia tila-avaruudessa. Alueellistettujen muuttujien teoriaa sovellettiin ensimmäiseksi kaivosteollisuudessa mallintamaan malmioiden keskipitoisuuksia, jota tarvittiin louhinnan ja tuotannon suunnittelussa. Menetelmä, jonka nimeksi on jäänyt geostatistiikka, sopii kuitenkin monenlaiseen maantieteellisen ja geologisen tiedon käsittelyyn. Menetelmää on käytetty malminarviointiin, sademäärien arviointiin, maaperän vedenläpäisevyyden tai maaperän kemiallisten pitoisuuksien arviointiin, kasvipeitteen, eläin- ja ihmispopulaatioiden ominaisuuksiin.[1]

Sisällysluettelo

Perusteet


Alueellisettu muuttuja (engl. regionalized variable) on lukuarvolla ilmaistava suure, joka on paikkaan sidottu ja ympäristönsä synnyttämä. Sellainen voi olla kalliossa olevan mineraalin pitoisuus, sillä sen arvot vaihtelevat eri alueilla ja se sai nykyisen pitoisuutensa kuumassa magmassa tapahtuneessa syntyprosessissa ympäristönsä mineraalien sekoittuessa toisiinsa lähialueella. Alueellistumisessa on oleellista juuri kohteen arvon riippuvuus ympäristönsä pisteiden arvoista. Riippuvuus heikkenee etäisyyden kasvaessa ja on lopulta nolla. Alueellistettujen muuttujien teoria pyrkii hyödyntämään tällaisten suureiden riippuvuuvaikutusta laskennassa.[2][3]

Alueellisettu muuttuja voi olla esimerkiksi tutkimusalueen korkeuden eli z-koordinaatin arvo tietyssä paikassa. Maaston korkeudet ovat alueellistuneita, koska maaston epätasaisuudet syntyvät eroosion erilaisten prosessien kautta. Rapautunut kiinteä aines liikkuu roudan työntämänä, kulkeutuu sadeveden mukana, lentää tuulessa, muokkaantuu eläinten kaimamisesta ja kasvien juurten työntäminä eri suuntiin. Lopulta maa-aines on asettunut satunnaisesti, mutta silti enneustettavasti tuntemaamme pinnanmuotoihin. Yksittäisen pisteen korkeus riippuu prosessissa ympäröivien muinaisten kohteiden korkeuseroista, mutta on itsekin ollut vaikuttamassa ympäristönsä pisteissä oleviin korkeusarvoihin. Näin on helppo nähdä, että alueellistunut muuttujia voi esiintyä yksi-, kaksi- tai kolmeulotteisissa ympäristöissä. Syntyprosessit vaikuttavat eri kohdissa oleviin arvoihin niin, että kohteiden välillä on selvä riippuvuus. Riippuvuuden avulla voidaan arvojen vaihtelun rakenteet selvittää ja hyödyntää tietoa esimerkiksi esimoinnissa.[2][3]

Määritelmä: konvoluution avulla

Määritellään painofunktio \({\displaystyle p(x)}\), joka on määritelty orgon ympristössä. Usein ajatellaan, että painofunktio on symmetrinen origon suhteen ja että \({\displaystyle p(x)=p(-x)}\) missä suunnassa origosta katsoen hyvänsä. Painofunktion avulla määritellään funktion arvo kohdassa \({\displaystyle x_{0}}\)

\({\displaystyle f_{p}(x_{0})=\int p(y)f(x_{0}+y)dy=\int p(-y)f(x_{0}-y)dy.}\)

Painofunktion \({\displaystyle p}\), joka on origon suhteen symmetrinen funktio, peilaus origon suhteen on funktio \({\displaystyle {\check {p}}}\). Sen avulla voidaan kirjoittaa integraali uudelleen konvoluutiota käyttämällä

\({\displaystyle f_{p}(x_{0})=\int p(-y)f(x_{0}-y)dy=\int {\check {p}}(y)f(x_{0}-y)dy=f*{\check {p}}.}\)

Tätä funktion \({\displaystyle f}\) painotettua keskiarvoa \({\displaystyle f_{p}}\) kutsutaan matematiikassa alueellistetuksi funktioksi ja tilastomenetelmissä alueellistetuksi muuttujaksi.[3]

Esimerkki konvoluutiosta: näyteen keskipitoisuus

Otetaan funktiosta näyte N, jonka muoto tunnetaan. Merkitää indikaattorilla \({\displaystyle k}\) kaikki näytteen pisteet: \({\displaystyle k(x)=1}\), kun \({\displaystyle x\in N}\) ja \({\displaystyle k(x)=0}\), kun \({\displaystyle x\notin N}\). Silloin tilavuuden suuruus lasketaan

\({\displaystyle V_{N}=\int k(x)dx.}\)

Valitaan painofunktioksi

\({\displaystyle p(x)={\frac {1}{V}}k(x)}\)

ja kirjoitetaan konvoluution avulla näytteen keskipitoisuus kohdassa \({\displaystyle x_{0}}\)

\({\displaystyle f_{N}={\frac {1}{V}}f*{\check {k}},}\)

mikä on integraalimerkinnällä

\({\displaystyle f_{N}(x_{0})={\frac {1}{V}}\int _{N}f(x_{0}-y)dy.}\)

Tämä on näytteen sisällä olevan suureen keskipitoisuus, joka on eräs suureen aluellistettu muuttuja. Suure (keskipitoisuus) ja muuttujan käsite ovat eri asioita. Tilastollisesti suureen varianssi ja muuttujan varianssit poikkeavat toisistaan ja ovat erilasia tilastollisisa satunnaismuuttujia.[3][4]

Malmiarvioinnissa näytteen koko tulee huomioida analyysissä. Jos kaivoksen malmion louhinnassa tuotannossa käytetään 6×6×12 m³ kokoisia lohkoja, mutta näytteet ovat vain 0,05×0,05×2 m³ kokoisia, on näiden malmipitoisuuksien jakaumat erilaiset. Vaikka keskipitoisuuksien keskiarvot olisivatkin eri kokoisilla lohkoilla ja näytteillä samat, vaihtelevat pienempien näytteiden keskipitoisuudet enemmän kuin suurten lohkojen keskipitoisuudet. Varianssien erilaisuus on geostatistiikassa ongelma, joka on voitettavissa alueellistettujen muuttujien menetelmillä.[2]

Esimerkki konvoluutiosta: radioaktiivisuuden määrä

Kun yhden yksikön suuruinen massa radioaktiivista ainetta sijoitetaan origoon, leviää siitä ympäristöön säteilyä. Yhden yksikön suuruisen massan aktiivisuus on A ja siitä etäisyydellä d säteilyn aktiivisuus on enää \({\displaystyle A{\frac {e^{-\lambda d}}{d}},}\) kun \({\displaystyle \lambda }\) on säteilyn absorbtio väliaineessa. Väliaineessa kohdassa \({\displaystyle x}\) olevan radioaktiivisen aineen määrä ilmaistaan lausekkeella \({\displaystyle f(x)dx}\) ja siitä leviää säteilyä kohtaan \({\displaystyle x_{0}}\) lausekkeen

\({\displaystyle A{\frac {e^{-\lambda d(x_{0}-x)}}{d(x_{0}-x)}}f(x)dx}\)

ilmaiseman määrän verran. Silloin radioaktiivisuuden kokonaismäärä kohdassa \({\displaystyle x_{0}}\) on

\({\displaystyle A(x_{0})=A\int f(x){\frac {e^{-\lambda d(x_{0}-x)}}{d(x_{0}-x)}}dx.}\)

Viimeinen lauseke on konvoluutio \({\displaystyle Af*{\check {p}},}\) missä origon suhteen symmetrinen painofunktio on \({\displaystyle p(x)={\frac {e^{-\lambda d}}{d}}}\). Aktiivisuuden määrä on tämän tulkinnan mukaan alueellistettu muuttuja.[3]

Tilastollinen lähestymistapa


Matemaattisesti ajateltuna alueellistettu muuttuja on kohdassa \({\displaystyle x}\) olevan tutkittavan suureen arvo, joka on paikan funktio \({\displaystyle f(x)}\). Funktio on käytännön kokemusten mukaisesti varsin epäsäännöllinen. Sen arvot vaihtelevat sattumanvaraisesti, mutta mikäli siitä voidaan erottaa rakenteellisia piirteitä, voidaan sitä analysoida tiettyyn rajaan asti tilastollisesti. Alueellistettujen muuttujien teoriassa kiinnitetään huomiota muuttujan kahteen ominaispiirteeseen: satunnaisen käyttäytymiseen ja rakenteelliseen vaihteluihin. Muuttujasta yritetään selvittää mahdollisimman paljon rakenteellisen piirteen ominaisuuksia ja ilmaista ne matemaattisessa muodossa. Sitten yritetään löytää muuttujan arvojen riippuvuuksia autokorrelaation muodossa ja erottaa siitä puhdas satunnainen elementti (kohina). Lopuksi valitaan estimointiin liittyviä menetelmiä, joissa rakenteelliset piirteiden tuntemus ja korrelaation määrä voidaan hyöndyntää tilastollisesti hyväksyttävällä tavalla.[5]

Tutkittava alue voidaan ajatella olevan spatiaallisen ja stokastisen prosessin satunnaiskenttä. Alueellistetut muuttujat olisivat silloin satunnaiskentässä hetkellä "nyt" olevien arvojen realisaatio. Satunnaiskentän \({\displaystyle Z(x)}\) eri pisteiden satunnaismuuttujat riippuvat toisistaan ja niiden realisaatiosta voidaan mitata riippuvuuden suuruus estimoimalla satunnaiskentän kovarianssin suuruudet. Yhden realisaation käyttäminen edellyttää kuitenkin, että satunnaiskenttä on jossakin määrin stationäärinen laajalta alueelta niin, että riippuvuudet saadaan selville tutkimalla kerättyjä näytteitä tilastollisesti.[5][4]

Valittu suure tulee voida määrittää pienistä ja suurista näytteistä niiden keskiarvoina. Esimerkiksi malmiarvioinnissa keskiarvo tarkoittaa näytteen keskipitoisuutta. Näytteiden koko ja muoto vaikuttavat siten näytteiden arvoihin ja arvojen varianssiin. Näytteiden välimatkat ja suunnat vaikuttavat tulee suunnitella näytteiden arvojen välisen riippuvuuden selvittämiseksi. Autokorrelaation vaikutusmatka ja suuntaus määrää näytetiheyden eri tarkastelusuunnissa. Alueellistettujen muuttujien teoriassa on menetelmä huomioida näytteiden koon ja estimoitavien lohkojen kokoero.[3][4]

Lähteet


Viitteet

  1. Berndtsson, Ronny: Regionalized Variables , Lundin yliopisto, 2005
  2. a b c Koistinen, Esko: Geomatematiikan menetelmiä ja sovelluksia malmivaratutkimuksissa , Tutkimusraportti nro 52, Geologinen tutkimuslaitos, 1981
  3. a b c d e f Matheron, Georges: The Theory Of Regionalized Variables And Its Applications, 1971, s.2−4
  4. a b c Heikkinen, Juha: Geostatistiikka , luentomoniste, Helsingin Yliopisto, 2006
  5. a b Matheron, Georges: The Theory Of Regionalized Variables And Its Applications, 1971, s.5−8

Aiheesta muualla










Luokat: Geostatistiikka








Tiedot vuodesta: 30.11.2020 01:57:04 CET

Lähde: Wikipedia (Tekijät [Historia])    Lisenssi: CC-by-sa-3.0

Muutokset: Kaikki kuvat ja suurin osa niihin liittyvistä sisustuselementeistä poistettiin. Jotkut kuvakkeet korvattiin FontAwesome-kuvakkeilla. Jotkut mallit poistettiin (kuten ”artikkeli tarvitsee laajennusta”) tai osoitettiin (kuten ”viittaukset”). CSS-luokat joko poistettiin tai yhdenmukaistettiin.
Wikipediakohtaiset linkit, jotka eivät johda artikkeliin tai luokkaan (kuten ”Punaiset linkit”, “linkit muokkaussivulle”, “linkit portaaliin”) poistettiin. Jokaisella ulkoisella linkillä on lisäksi FontAwesome-kuvake. Joidenkin pienten suunnittelumuutosten lisäksi media-säilö, kartat, navigointiruudut, puhutut versiot ja geomikroformaatit poistettiin.

Huomaa: Koska annettu sisältö otetaan automaattisesti Wikipediasta tiettynä ajankohtana, manuaalinen tarkistaminen oli eikä ole mahdollista. Siksi LinkFang.org ei takaa hankitun sisällön paikkansapitävyyttä ja todellisuutta. Jos tiedossa on tällä hetkellä vääriä tietoja tai siinä on virheellinen näyttö, ota rohkeasti yhteyttä ota meihin yhteyttä: sähköposti.
Katso myös: Valmistusmerkintä & Tietosuojakäytäntö.